Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l'obtention de principes d'invariance pour des champs aléatoires (indexés par $Z^d$) stationnaires, de carré intégrable et pouvant présenter une dépendance de type longue mémoire. Pour de tels principes d'invariance, des propriétés d'auto-similarité et d'indépendance des accroissements (en un certain sens) sont attendues sur le champs limite. En dimension $d=1$, les processus apparaissant comme limite d'échelle sont donc le mouvement brownien (mémoire courte) ou les mouvements browniens fractionnaires (mémoire longue). En dimension supérieure, il existe une variété beaucoup plus grande de champs limites gaussiens possibles, notamment en cas de longue mémoire. Des phénomènes de $"$transition d'échelle$"$ peuvent également apparaître. Nous illustrerons ceci en présentant quelques modèles discrets simples, notamment basés sur des partitions aléatoires, dont les limites d'échelle font apparaître différents champs gaussiens anisotropes. Il s'agit de travaux en collaboration avec Hermine Biermé (Université de Poitiers) et Yizao Wang (University of Cincinnati).
Soit $X _n={X_1,... ,X_n}$ où les $X_i$ sont iid de loi $μ $ sur un espace métrique $(E,d)$. Le concept de stabilisation s'applique à des fonctionnelles s'écrivant \begin{align*} F(X_n)=∑_i=1^nξ (X_i;X_n) \end{align*} où la fonction de score $ξ $ ne dépend que d'un voisinage du point concerné d'une distance aléatoire: \begin{align*}ξ (X_i;X_n)=ξ (X_i;X _n∩ B(X_i,R_i)). \end{align*} Les rayons $R_i=R(X_i;X _n)$ sont supposés avoir une queue légère. Ce type de fonctionnelle s'applique à une très grande classe de modèles: arbre couvrant aléatoire, graphe des plus proches voisins, mosaïques de Voronoi et Delaunay, points maximaux, absorption de sphères dures, modèle booléen, ou enveloppe convexe, que l'on développera plus en détail. Pour de nombreux problèmes, la fonctionnelle a étéégalement étudié pour un aléa $X_n'$ qui est un processus ponctuel de Poisson d'intensité $nμ $. On présentera des résultats donnant une vitesse de convergence vraisemblablement optimale des fonctionelles $F(X_n)$ ou $F(X '_n)$ proprement renormalisées vers une loi gaussienne standard, sous des hypothèses concernant la mesure des petites boules de $(E,d)$, et sur la queue du rayon de stabilisation, avec une hypothèse de moment.
Dans cet exposé, on présentera des résultats récents autour de la méthode de Stein et des lois indéfiniment divisibles. En particulier, on mettra en avant deux méthodes distinctes permettant d'obtenir des bornes quantitatives pour certains théorèmes limites de convergence en loi faisant intervenir des lois indéfiniment divisibles. Au cœ ur de ces méthodes, se trouve une caractérisation de type Stein des lois indéfiniment divisibles à premier moment fini faisant intervenir un opérateur non-local. On présentera des applications de ces deux méthodes aux cas respectifs suivants : l'approximation de lois indéfiniment divisibles par des lois de type Poisson composé et la convergence de somme de variables aléatoires indépendantes vers des lois auto-décomposables. Ces résultats sont issus d'un travail en collbaboration avec Christian Houdré (Georgia Tech.).
Les modèles de croissance aléatoire font typiquement intervenir une quantité de points qui croît avec le temps. On considère une infection démarrant en un site spécifique (qu'on appellera origine $O$) d'un graphe $G=(V,E)$ et qui se répand à travers les arêtes du graphe selon certains règles (contenant de l'aléatoire) de façon à ce que tous les sites finiront par être infectés. On note $t(x)$ le temps nécessaire pour infecter le site $x$ et on s'intéresse à l'ensemble des points infectés avant le temps $t$ : B(t)={x∈ V: t(x)≤ t}. Les modèles d'Eden, DLA (diffusion limited agregation), FPP (first passage percolation) sont des exemples de modèles de croissance aléatoire. En percolation de premier passage, sous de bonnes hypothèses (stationnarité, intégrabilité), les outils tels que la sous-additivité permet de conclure un théorème de forme asymptotique (Kesten, Kingman, Cox-Durrett), c'est à dire l'existence de forme convexe déterministe compacte $B$ telle que pour tout $ϵ>0$, P((1-ϵ) B ⊂B(t)/t⊂ (1-ϵ) B, pour $t$ grand)=1. Ces théorèmes de formes asymptotiques sont aussi valables pour des modèles où on introduit une dynamique de guérison, i.e. l'infection peut disparaître spontanément en chaque site (processus de contact et ses extensions). Durrett donne une définition plus générale des modèles de croissance aléatoire comme un sysytème attractif, avec $ξ=0$ comme état absorbant et décrit par un ensemble de taux de sauts invariants par translation et à portée finie. Dans cet exposé, je parlerai de comment on prouve des théorèmes de formes asymptotiques et de comment il est possible (ou non) de s'affranchir des différentes hypothèses. Je montrerai finalement comment appliquer ces résultats pour l'étude d'un modèle non attractif (le modèle de Fredrickson-Andersen 1-facilité).