Dans cet exposé introductif de la session, on fera une revue de quelques modèles probabilistes introduits et étudiés depuis une dizaine d'années pour modéliser l'évolution de populations structurées. La dynamique de ces populations, où les individus diffèrent par des traits qui modifient leurs survies et leurs capacités reproductives, dépend des phénomènes de naissances et morts - en prenant en compte la sélection et la compétition entre les individus - des événements de mutations et de transferts horizontaux. En jouant sur les ordres de grandeurs relatifs des paramètres décrivant ces dynamiques, plusieurs approximations peuvent être obtenues : comportement moyen liéà la loi des grands nombres, séparations d'échelles de temps... En particulier, on s'attachera aux questions liées à la forme et à l'évolution des phylogénies ainsi qu'à la prise en compte de phénomènes multi-niveaux. Egalement, l'évolution des populations structurées par des graphes aléatoires sera abordée. Des exemples tirés de la santé publique, de la biologie ainsi que les développements statistiques associés illustreront l'exposé.
On considère un processus de branchement structuré par une caractéristique aléatoire qui évolue suivant une diffusion. Les évènements de branchement ont lieu à un taux qui dépend de cette caractéristique. À partir des observations des traits des individus à la naissance pour les $n$ premières générations du processus, nous construisons un estimateur non-paramétrique de la fonction de transition de la chaine bifurcante associée et nous étudions l'estimation paramétrique du taux de branchement. Lorsque $n→∞$, nous obtenons l'efficacité asymptotique de l'estimateur paramétrique ainsi que l'optimalité minimax dans le cas non-paramétrique.
Nous allons nous intéresser à des limites d'échelles d'équations modélisant des populations structurées dont la dynamique est dirigée par deux phénomènes: d'une part des mutations et, d'autre part, la compétition des individus pour les ressources de l'environnement. Notre objectif est d'observer le comportement de telles populations sur des échelles de temps longues et pour des mutations rares ou petites. L'idée étant, qu'à de telles échelles, la population exhibe un comportement métastable. Pour étudier ce problème, nous introduirons une limite d'échelle en petites mutations et temps long, donnant lieu à des équations de type Hamilton-Jacobi avec contraintes [diekmann-jabin-al-05]. Pour ce faire, nous introduisons une approche probabiliste, complémentaire aux méthodes analytiques (e.g. [lorz-mirrahimi-al-11]), basée sur une représentation des problèmes initiaux via des formules de Feynman-Kac. L'asymptotique peut alors être étudiée grâce à des estimées de grandes déviations, et mène à une caractérisation variationnelle du problème de Hamilton-Jacobi limite. Dans certains cas, nous sommes alors en mesure de démontrer l'unicité de la solution à ce problème, et de caractériser le comportement métastable de la population.
Nous considérons deux souches de parasites dont la compétition se traduit par une sélection naturelle à deux niveaux. Le premier, qui décrit l'évolution de ces derniers au sein d'un hôte, fait rapidement apparaître les écarts de fitness. La souche I capable de générer ses descendants le plus rapidement s'impose alors très probablement (dès lors qu'elle n'est pas trop rare au départ). Mais qu'advient-il lorsque la mortalité de leur hôte vient contrebalancer cet effet? Via la disparition des hôtes pour lesquels la souche la moins adaptée, notée G, n'a pas pu perdurer, on est alors amenéà considérer un échantillon biaisé de la dynamique de fixation. Ceci peut se produire soit parce que G est elle-même plus favorable aux hôtes soit parce que la présence conjointe de I et G est plus favorable à ces hôtes. Selon les cas et l'intensité de chaque effet de sélection, les comportements seront a priori bien différents. Pour aborder ces questions, nous nous basons, à la suite de [L14] and [LM15], sur un modèle de Moran en temps continu à deux niveaux. Dans cette population de groupes ("d'hôtes"), le succès reproducteur de chacun est donné par la proportion de chaque souche d'individus ("les parasites") qu'il héberge. Pour l'instant, la transmission des individus est supposée purement verticale (pas de migration d'un groupe à l'autre) et exacte (la proportion du parent est celle de son descendant). Dans une limite de grande population (à la fois pour les groupes et les individus qu'ils hébergent), nous détaillerons un modèle pour lequel la distribution empirique des individus est soumise à l'effet conjoint de l'écart de fitness et d'une diffusion stochastique, biaisée de manière déterministe par le taux de survie du groupe. Pour décrire la convergence en temps long de ces distributions empiriques, nous montrerons l'intérêt des méthodes obtenues dans [Aur17] pour décrire les distributions quasi-stationnaires.