In this talk we present a microscopic model in the family of conserved lattice gases (CLG). Its stochastic short range interaction exhibits a continuous phase transition to an absorbing state at a critical value of the particle density. We prove that, in the active phase (i.e. for initial profiles smooth enough and uniformly larger than the critical density $1/2$), the macroscopic behavior of this microscopic dynamics, under periodic boundary conditions and diffusive time scaling, is ruled by a non-linear PDE belonging to the class of fast diffusion equations. The first step in the proof is to show that the system typically reaches an ergodic component in subdiffusive time.
Le modèle de Duarte est un modèle de mécanique statistique dans lequel chaque site de $Z^2$ peut être sain ou infecté. Dans sa version percolation bootstrap, la dynamique est déterministe, les sites infectés le restent pour toujours, et un site sain est infecté lorsqu'une contrainte est satisfaite. Dans sa version modèle avec contraintes cinétiques, la dynamique est stochastique, les sites infectés peuvent guérir et les sites sains être infectés, et un site peut changer d'état lorsque la même contrainte est satisfaite. Dans cet exposé, on comparera le comportement du premier temps auquel un site est infecté pour les deux versions du modèle.
On considère le processus d'exclusion simple à $k$ particules sur un réseau linéaire à $N$ sites, avec taux de sauts $p_N$ vers la droite et $q_N = 1-p_N$ vers la gauche. On s'intéresse au temps de mélange, c'est-à-dire, au temps nécessaire pour que le système, partant de sa "pire" condition initiale, soit proche (pour un seuil $ϵ > 0$ donné) en variation totale de l'équilibre. Dans le cas symétrique $p_N=q_N = 1/2$, Hubert Lacoin [Lac16] a montré que ce temps était asymptotiquement de l'ordre de $N^2 k∧ (N-k)$ avec une constante explicite ne dépendant pas du seuil $ϵ$. Ceci traduit un phénomène de cutoff : la distance à l'équilibre chute de manière abrupte autour de ce temps de mélange. Je présenterai des résultats [LabLac16,LabLac18] obtenus en collaboration avec Hubert Lacoin : nous nous sommes intéressés au cas où $p_N > q_N$, et avons identifié trois régimes. Le premier régime se limite aux asymétries faibles $p_N-q_N ≪ k /N$ : dans ce cas, nous avons également un phénomène de cutoff et le comportement du processus est semblable au cas symétrique. Le second régime concerne les asymétries assez fortes $p_N-q_N ≫ k / N$ : dans ce cas, le comportement n'est plus diffusif mais ballistique, et l'on obtient à nouveau un phénomène de cutoff en s'appuyant sur la limite hydrodynamique du processus. Le dernier régime $p_N-q_N k /N$ reste ouvert.
Le modèle Fredrickson-Andersen one spin facilitated est un modèle cinétiquement contraint: chaque site met à jour la valeur de son spin si une certaine contrainte locale est satisfaite; ici c’est le fait d’avoir au moins un 0 dans ses voisins. Les modèles cinétiquement contraints ont la particularité d’être non attractifs ce qui rend leur étude complexe, notamment pour étudier les résultats de forme; les méthodes classiques de sous-additivité ne s’appliquent pas. Dans un travail en collaboration avec Oriane Blondel et Cristina Toninelli nous montrons que le front du modèle FA en 1d, i.e. le 0 le plus à gauche lorsqu’on part d’une configuration initiale avec que des 1 à gauche de l’origine et un 0 en l’origine, a une vitesse linéaire ainsi que des fluctuations gaussiennes, et ce pour un paramètre q de densité de 0 supérieur à un certain seuil.