Pour de nombreux modèles de graphes aléatoires, lorsqu'on augmente la densité des arêtes, on observe en général un changement très soudain de structure pour une densité dite `critique' (qui dépend du modèle): exactement à cet endroit, une composante connexe géante, qui contient une proportion positive des noeuds, commence à apparaitre. La structure des graphes `critiques' c'est-à-dire au point de transition ne contient pas encore de composante connexe macroscopique, mais un grand nombre de composantes de tailles polynomiales intermédiaires qui vont par la suite s'agglomérer pour former le géant. Comprendre la transition de phase, ainsi que la structure des graphes critiques a suscité beaucoup d'intérêt depuis les travaux initiaux d'Erdos et Rényi, notamment parce que les propriétés autour du point critique devraient être universelles. Je considérerai un modèle de graphes inhomogènes et décrirai un ensemble de résultats récents sur les limites d'échelles de ces graphes vu comme des espaces métriques. Je montrerai en particulier comment une nouvelle représentation permet d'unifier les théorèmes concernant les limites de graphes classiques (Erdos-Renyi) et les graphes dont les degrés ont une loi de puissance. En particulier nous vérifieront que les limites sont des objets fractals dont ont peut donner une représentation explicite, et calculer les dimensions caractéristiques.
Les classes de permutations, sous-ensembles de permutations évitant certains motifs, sont des objets qui ont été beaucoup étudiés du point de vue de leur structure combinatoire, depuis leur introduction par Knuth. Nous nous intéressons à une question plus probabiliste: "à quoi ressemble le diagramme (ou la matrice) d'une grande permutation choisie uniformément au hasard dans une classe donnée ?" Je commencerai par la classe des permutations séparables, celles qui évitent $(2413)$ et $(3142)$. Il y a alors convergence vers un objet aléatoire: le permuton séparable Brownien. < g r a p h i c s >Une grande permutation séparable, un permuton stable, l'arbre Brownien dessiné par Igor Kortchemski Je parlerai ensuite d'une construction directe du permuton Brownien à partir de l'arbre Brownien et mentionnerai quelques propriétés de cet objet. Enfin, nous verrons que de nombreuses autres classes convergent aussi vers des variantes du permuton Brownien, puis qu'il est possible de sortir de cette classe d'universalité, pour obtenir par exemple une nouvelle famille dénomée permuton stable. Ce résultat utilise fortement une décomposition arborescente des permutations, appelée décomposition par substitution, ainsi que les méthodes de la combinatoire analytique.
Considérons un arbre de Galton--Watson surcritique, et ajoutons à chaque hauteur un cycle reliant entre eux les sommets consécutifs. L'objet obtenu, appelécarte causale, est un modèle naturel de graphe planaire aléatoire hyperbolique. On s'intéressera en particulier à la marche aléatoire simple sur ce graphe, et on montrera qu'elle s'éloigne de la racine à vitesse strictement positive. Les outils permettant d'étudier les marches aléatoires sur des arbres ne peuvent pas tous être adaptés, ce qui oblige à utiliser d'autres techniques.
Avec des données réelles, et particulièrement avec des données issues du secteur biomédical, l'hypothèse d'indépendance des variables est trop forte. L'inférence de réseau est un outil puissant, permettant de détecter les dépendances entre des variables. De nombreuses de méthodes ont été proposées pour estimer les matrices de covariance en grande dimension. Néanmoins, la plupart de ces méthodes souffrent du problème de stabilité : si on modifie un peu l'échantillon observé, le réseau est différent, ce qui rend difficile l'interprétation et l'analyse. Dans ce projet, on se focalise sur une méthode stable d'inférence de réseaux, basée sur des outils d'inférence topologique. La méthode shock, introduite dans [DG], décompose le réseau en composantes connexes, puis infère des réseaux parcimonieux dans chaque composante. En utilisant les outils décrits dans [CM], on obtient un théorème justifiant que la décomposition en composantes connexes est stable, c'est-à-dire que pour deux échantillons de taille finie issus d'une même distribution, les réseaux inférés sont proches, le résultat étant obtenu à distance finie (non-asymptotique). Une analyse numérique montrera qu'en pratique, cette méthode est plus stable que d'autres proposées dans la littérature.