Les équations différentielles rugueuses (EDR) donnent un sens á des équations différentielles dirigées par des bruits irrégulier. Par exemple, elles permettent de définir trajectoriellement des solutions d'équations différentielles stochastiques. À la suite des travaux d'Ismaël Bailleul (voir [ba1] par exemple), nous présenterons divers résultats liés á la construction de solutions en considérant directement des approximations de flot, ce qui revient á construire une solution par son approximation numérique. Nous verrons les avantages que nous pouvons tirer de cette construction, notamment en ce qui concerne les propriétés de flots de famille de solution d'EDR mais aussi pour construire des flots mesurables lorsque les solutions ne sont a priori pas uniques.
On s'intéresse à des dynamiques discrètes de la forme : $$X_n+1=X_n+hb(X_n)+σ(X_n)Δ_n+1$$ où $(Δ_n)$ correspond aux accroissements, supposés stationnaires et ergodiques, d'un processus Gaussien $(Z_t)_t≥ 0$. On peut penser par exemple au mouvement Brownien fractionnaire pour $Z$. Nous allons voir que l'on peut définir une structure Markovienne et donc la notion de mesure invariante dans ce cadre a priori non-Markovien. D'autre part, sous certaines conditions reliées à la fonction de covariance de la suite $(Δ_n)$, nous pouvons obtenir une majoration de la vitesse de convergence à l'équilibre pour la distance en variation totale. La preuve repose sur une méthode de couplage, non trivial dans ce cadre à mémoire. Celle-ci a été introduite par M.Hairer [Ha], puis J.Fontbona & F.Panloup [FP], et A.Deya, F.Panloup & S.Tindel [DPT] dans un cadre continu pour des EDS fractionnaires.
Une inclusion différentielle est une équation différentielle ordinaire (EDO) où l'on remplace le champ de vecteurs par une application multivaluée, c'est-à-dire une application dont les valeurs sont des sous-ensembles. L'existence de solution dépend comme pour les EDO de la régularité de la fonction multivaluée mais aussi des propriétés de ses valeurs (compacité, convexité). Dans cet exposé, on étudie une inclusion différentielle perturbée par une trajectoire rugueuse. On montre l'existence de solution sans hypothèse de convexité par une méthode de point fixe.
Il existe essentiellement deux façons de contraindre la solution d'une équation différentielle stochastique àévoluer dans un sous-ensemble fermé de l'espace. La première méthode consiste à choisir le champ de vecteurs de l'équation de sorte qu'au bord de l'ensemble contrainte le bruit devienne négligeable et qu'une force de rappel s'exerce sur la solution. Il s'agit d'une condition d'invariance (cf. Aubin et Da Prato [AD90] dans le contexte du calcul d'Itô et Coutin et Marie [CM17] dans le cas rugueux). La seconde méthode consiste à ajouter à la solution de l'équation un processus repoussant cette dernière à l'intérieur avec une force minimale chaque fois qu'elle touche le bord de l'ensemble contrainte. Il s'agit d'un problème de réflexion de Skorokhod et c'est le sujet de cet exposé. Plus précisément, l'exposé portera sur l'existence, l'unicité et l'approximation de la solution d'un problème de réflexion de Skorokhod associéà une équation différentielle rugueuse et à un processus de rafle de Moreau (cf. Moreau [MOREAU76]) pour un ensemble contrainte convexe, compact et dépendant continûment du temps au sens de la distance de Hausdorff. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Charles Castaing et Paul Raynaud de Fitte (cf. Castaing et al. [CMR18]).