The Gibbs point processes constitute a large class of point processes with interaction between the points. The interaction can be attractive, repulsive, depending on geometrical features whereas the null interaction is associated to the so-called Poisson point process. There are two parameters, the activity $z>0$ related to the intensity of the process and the inverse temperature $β> 0$ related to the strength of the interaction. In a first part of the talk, we recall briefly general results ensuring the existence, uniqueness and non uniqueness of such processes in the infinite volume regime [Ruelle70]. Then we consider graphs based on the vertices of such Gibbs processes and for which an edge between two points is present if their distance is smaller than $R>0$. Standard percolation results are presented for large/small activity $z$ or inverse temperature $β$. In a second part of the talk we will focus on the sharpness of phase transition for the special Widom-Rowlinson model (or Area-interaction model). It is a joint work in progress with Pierre Houdebert [DH]. First, for any $R>0$, we show that this model exhibits a sharp phase transition at a critical point $z_c(R)$ in the spirit of [DT]. The size of clusters are exponentially decreasing for activities strictly smaller than the critical percolation threshold $z_c(R)$. Secondly we show that for a special value $R$ the critical percolation threshold $z_c(R)$ corresponds to a liquid-gas phase transition. That means that for a fixed value of the inverse temperature $β$ (chosen large enough), the non-uniqueness of Gibbs measures is only observed for the activity $z=z_c(R)$. The non-uniqueness result for $z=z_c(R)$ was known since long time [CCK]. Our contribution is to prove that $z=z_c(R)$ is the only one value for which the non-uniqueness occurs.
Nous considèrons le modèle de percolation de premier passage standard dans $Z^d$ pour une loi $G$ sur $R^+$ admettant un moment exponentiel. Soit $A$ un convexe compact de $R^d$. Nous nous intéressons au flot maximal de l'ensemble $A$ vers l'infini. Ce problème équivaut àétudier les surfaces de capacité minimale qui séparent $A$ de l'infini. Nous montrons ici que le flot maximal renormalisé entre $nA$ et l'infini $ϕ(nA)/n^d-1$ converge presque sûrement, quand $n$ tend vers l'infini, vers une constante dépendant de $A$. Cette constante correspond à la capacité de la frontière $∂ A$ de $A$, et s'exprime comme l'intégrale d'une fonction déterministe sur $∂ A$. Ce résultat a été montré en dimension $2$ et conjecturé pour les dimensions supérieures par Garet dans [garet2009].
Comment le paramètre critique de percolation dépend-il du graphe considéré ? C'est une vaste question, qui s'avère liée à celle de déterminer le comportement précisément au point critique. On l'abordera ici sous l'angle suivant : on montrera que, sous des conditions raisonnables, quotienter un graphe augmente strictement la valeur de $p_c$. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Franco Severo, qui s'appuie notamment sur les techniques d'Aizenman--Grimmett.
Nous étudierons dans cet exposé une famille de graphes orientés "out degree one" construits sur un processus ponctuel de Poisson éventuellement marqué. Nous donnerons dans un premier temps plusieurs résultats d'existence pour une large famille de graphe obtenu via une dynamique germes grains. Nous verrons ensuite qu'un modèle de graphe aléatoire orienté ne construit, avec probabilité un, aucune composante connexe infinie si il satisfait deux hypothèses précises que nous détaillerons. Nous donnerons plusieurs exemples de graphes non percolant, et nous finirons par discuter de la souplesse de ces deux hypothèses vis à vis des modèles de graphes orientés plus complexe dont on ne connaît pour le nomment pas l'absence de percolation.