La théorie spectrale des grandes matrices aléatoires non hermitiennes a connu de grandes avancées dans les quinze dernières années. La première partie de cette présentation est consacrée aux bases de cette théorie. L'accent sera mis sur sur le modèle emblématique d'une matrice aléatoire àéléments iid. Dans la deuxième partie des modèles structurés plus récents seront abordés. Les applications potentielles en statistiques, en écologie ou en automatique seront évoquées.
Dans cet exposé, on considère une matrice de Wigner $W_N$ déformée par une perturbation diagonale déterministe $A_N$ : $M_N=W_N+A_N$. Le comportement de la mesure spectrale empirique est connu et fournit la convergence des statistiques linéaires des valeurs propres, c'est-à-dire des quantités de la forme $Trφ(M_N)$, où $φ$ est une fonction test. On s'intéresse alors aux fluctuations, étudiées récemment par Ji et Lee lorsque la fonction $φ$ est analytique.
La détection et l'estimation sont des problèmes courants dans le traitement statistique du signal multidimensionnel. On suppose que les observations sont une série temporelle multivariable $(y_n)_1,...,N$ de grande dimension $M$ définie comme la somme d'un bruit gaussien blanc temporellement et spatialement et d'un signal utile généré comme la sortie d'un filtre 1 entrée/$M$ sorties à réponse impulsionnelle finie excité par une séquence déterministe scalaire non observable. Un bon nombre de techniques connues sont basées sur les fonctionnelles de la matrice covariance empirique spatio-temporelle $R_L$ des vecteurs de dimension $ML$ $(y^(L)_n)_n=1,...,N$ obtenus en empilant les vecteurs $y_k$ entre les instants $n$ et $n+L-1$, où $L$ est un paramètre bien choisi. Compte tenu de la structure particulière des vecteurs $(y_n^(L))_n=1, ..., N$, $ R_L$ coïncide avec la matrice de Gram d'une matrice Hankel par bloc $Σ_L$. Nous nous intéressons au régime où le nombre de coefficients $P$ de la réponse impulsionnelle générant le signal utile et le paramètre $L$ restent fixes, quand $M$ et $N$ grandissent. La matrice $Σ_L$ est alors une perturbation de rang fini de la matrice Hankel par bloc $ W_L$ constituée à partir du bruit additif. Les éléments propres de $ R_L$ se comportent comme si la matrice $ W_L$ était àéléments indépendants et identiquement distribués. Cela nous permet de construire de tests de détection du signal utile portant sur les plus grandes valeurs propres de $ R_L$ ainsi que la mise en évidence de nouvelles stratégies de détermination du paramètre de régularisation de filtres de Wiener spatio-temporels estimés à partir d'une séquence d'apprentissage. Techniquement, ce dernier point est abordé en caractérisant le comportement asymptotique des éléments de la résolvente de la matrice $ R_L$. Ces résultats permettent également d'analyser le comportement d'algorithmes sous-espace de localisation de sources bande étroite utilisant la technique du lissage spatial.
In this talk, we will revisit the proof of the large deviations principle of Wiener chaoses partially given by Borell, and then by Ledoux in its full form. We show that some heavy-tail phenomena observed in large deviations can be explained by the same mechanism as for the Wiener chaoses, meaning that the deviations are created, in a sense, by translations. More precisely, we prove a general large deviations principle for a certain class of functionals $f_n : R^n →X$, where $X$ is some metric space, under the probability measure $ν_α^n$, where $ν_α =Z_α^-1e^-|x|^αdx$, $α∈ (0,2]$, for which the large deviations are due to translations. We retrieve, as an application, the large deviations principles known for the so-called Wigner matrices without Gaussian tails of the empirical spectral measure, the largest eigenvalue, and traces of polynomials. We also apply our large deviations result to the last-passage time which yields a large deviations principle when the weight matrix has law $μ_α^n^2$, where $μ_α$ is the probability measure on $R^+$ with density $2Z_α^-1e^-x^α$ when $α∈ (0,1)$.